احمد در ۱۸ بهمن ۱۲۹۶ در غازیان بندر انزلی به دنیا آمد. تحصیلات مقدماتی خود را در زادگاهش گذراند. خودش گفته: «سال‌های ۱۳۱۷و ۱۳۱۸ که ایرانیان مقیم آذربایجان شوروی‌سابق به ایران می‌آمدند، برای یکی از مهاجران که از آذربایجان به ایران آمده بود به نام «ملک شریف اوا»، روی آهنگی که آن موقع روح‌‌‌‌انگیز خوانده بود، ترانه‌‌‌ای سرودم. روزی در کلاس برای یکی از همکلاسی‌هایم به نام نبی جو، که ویولن می‌زد، آن شعر را به صورت زمزمه خواندم. نبی جو به من گفت: احمد صدای خیلی خوبی داری. بعد به اصرار او برای بچه‌های کلاس هم آن ترانه را با صدای بلند خواندم. همکلاسی‌هایم به وجد آمده بودند و در حقیقت راه آینده را در همان کلاس به من نشان دادند.»  

او بعد از مدتی برای ادامه تحصیلات در دوران دانشگاه به تهران آمد و در دانشگاه تهران مهندسی کشاورزی خواند. در سال ۱۳۲۲ به ابوالحسن صبا معرفی شد و در رادیو تهران به خوانندگی پرداخت.  او همچنین گفته: «دوستی مرا در سال ۱۳۲۲ نزد استاد صبا فرستاد. صبا از من امتحان گرفت. چند تا از ترانه‌‌‌هایی را که می‌دانستم برای او خواندم و اجرا کردم و استادصبا هم پسندید» او با رادیو دو دوره بین سال‌های ۱۳۲۵ تا ۱۳۲۷ و ۱۳۳۶ تا سال ۱۳۳۸ به همکاری پرداخت. در سال ۱۳۳۸ کار در رادیو را رها کرد و از آن پس بیشتر برای رفقایش آواز خواند.  خودش گفته: وقتی سرباز بودم سر ماجرای آواز خواندن، من را توبیخ کردند. فرمانده من را خواست و پیش چشم همه سربازهای دیگر به من سیلی زد و با لحن تندی از من پرسید: تو برای چه کسی می‌‌‌خوانی؟ من هم رویم را برگرداندم به سمت سربازها و با صدای بلندی گفتم: من برای شما می‌‌‌خوانم. بعد سریع آواز خواندم: ‌ای لیلی، جان لیلی، می‌جان جانان لیلی، و همه سربازان با من، هم صدا شدند. عاشورپور گفته: «بعد از انقلاب برخلاف میل خودم به فرانسه رفتم و حدود ۱۰ سال که در خارج از کشور بودم، در پاریس که کنسرت داشتم، حتی در آلمان که کنسرت برگزار کردم، بیش از ۴هزار نفر شرکت کردند و در لندن نیز کنسرت برگزار کردم که همه با اقبال خوبی مواجه شد. در دوران غربت چون پاتریس لومومبا را خیلی دوست داشتم، با همسرم پسرک سیاه‌پوستی را به فرزندی قبول کرده و نامش را «پاتریس» گذاشتیم که حالا جوان رشیدی شده و ماه به ماه خبری از من نمی‌گیرد! به محض اینکه امکان بازگشت من را به ایران فراهم کردند، با عشق به آب و خاک و مردم سرزمینم یک لحظه تردید نکردم و به ایران برگشتم.» عاشورپور ۲۲ دی ۱۳۸۶ پس از یک عمر تلاش برای بالندگی موسیقی گیلان چشم از جهان فروبست و بنا به وصیتش در خاک زادگاهش بندرانزلی آرام گرفت.